Abstract: В размерностях 2 и 3 уравнения Эйлера $$ u\cdot\nabla u+\nabla p=0,\quad\nabla\cdot u=0 $$ описывают стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Уравнения представляют математический интерес и в произвольной размерности. Здесь $u=\big(u_1(x),\dots,u_n(x)\big)$ --- векторное поле на ${\R}^n$ (скорость жидкости) и $p$ --- скалярная функция (давление). В настоящих лекциях мы ограничиваемся рассмотрением решений, для которых функции $u_i\ (i=1,\dots,n)$ и $p$ определены на всем ${\R}^n$, достаточно гладкие и достаточно быстро убывают на бесконечности. В большинстве случаев мы будем предполагать, что $u_i, p$ принадлежат пространству Шварца ${\mathcal S}({\R}^n)$. В течение последних 30 лет оставался открытым вопрос: Существует ли нетривиальное (т. е. не равное тождественно нулю) решение уравнений Эйлера на ${\R}^3$, для которого $u_i, p\in{\mathcal S}({\R}^3)$? Лишь недавно А.В.~Гаврилов \cite{G} доказал существование такого решения. Подобные решения легко строятся в любой четной размерности. Найденное Гавриловым решение удовлетворяет дополнительному уравнению $u\cdot\nabla p=0$ (вектор скорости ортогонален градиенту давления во всех точках). Решения, удовлетворяющие этому уравнению, мы называем {\it гавриловскими потоками}. Гавриловские потоки полностью описываются в рамках классической дифференциальной геометрии гиперповерхностей в ${\R}^n$. А именно, ограничение векторного поля $u$ на каждую регулярную {\it изобару} $M_{p_0}=\{x\in{\R}^n\mid p(x)=p_0=\mbox{const}\}$ является касательным к $M_{p_0}$ векторным полем, отличным от нуля во всех точках и удовлетворяющим уравнениям $$ \nabla_{\!u}u=0,\quad {\mathrm {div}}\,u=u(\log|\nabla p|),\quad {\mathrm{II}}(u,u)=-|\nabla p|, \eqno{(1)} $$ где $II$ --- вторая квадратичная форма гиперповерхности $M_{p_0}$. Первое из этих уравнений означает, что $u$ --- {\it геодезическое векторное поле} на $M_{p_0}$, т. е. интегральные линии поля $u$ (= траектории частиц жидкости) являются геодезическими гиперповерхности $M_{p_0}$. Теперь уравнения Эйлера можно забыть и сосредоточиться на исследовании чисто геометрической системы (1). Но это исследование оказывается нелегким занятием. Более-менее полные результаты пока удалось получить лишь для поверхностей вращения, т. е. для осесимметричных гавриловских потоков. Следующее наблюдение принадлежит Надирашвили -- Владуцу \cite{NV}. Если решение $(u,p)$ уравнений Эйлера таково, что $u_i, p\in{\mathcal S}({\R}^n)$, то для любой аффинной гиперплоскости $P\subset{\R}^n$ $$ \int_P\big(\xi\cdot u(x)\big)\big(m\cdot u(x)\big)\,dx=0, $$ где $m$ --- нормальный вектор гиперплоскости $P$, $\xi$ --- произвольный вектор параллельный $P$ и $dx$ --- $(n-1)$-мерная мера Лебега на $P$. Это наблюдение открывает широкие возможности применения методов интегральной геометрии (= тензорной томографии) к изучению решений уравнений Эйлера. Еще одно важное свойство решений уравнений Эйлера описывается так называемыми {\it соотношениями ортогональности}. Снова расмотрим решение, для которого $u_i, p\in{\mathcal S}({\R}^n)$. {\it Соотношения ортогональности нулевого порядка} утверждают, что $$ (u_i,u_j)_{L^2({\R}^n)}=0\quad(i\neq j) $$ и $$ \|u_1\|^2_{L^2({\R}^n)}=\dots=\|u_n\|^2_{L^2({\R}^n)}=-\int_{{\R}^n}p(x)\,dx. $$ Эти равенства известны довольно давно \cite{CC}. {\it Соотношения ортогональности первого порядка} утверждают, что $$ \int_{{\R}^n}x_ku_i(x)u_j(x)\,dx=0\quad(i\neq k,j\neq k),\quad \int_{{\R}^n}x_ku_i^2(x)\,dx=-\int\limits_{{\R}^n}x_kp(x)\,dx\quad(i\neq k). $$ Имеется бесконечная серия подобных соотношений \cite{Sh}. В наших лекциях будет приведен обзор результатов, полученных в данной области после открытия Гаврилова. Мы постараемся изложить (с разной степенью подробности) содержание работ, перечисленных в нижеследующем списке литературы. Особое внимание будет уделено нерешенным вопросам, которых по-прежнему остается гораздо больше, чем полученных результатов. \begin{thebibliography}{100} %\begin{ltrtr} \bibitem{CC} D. Chae and P. Constantin, {\em Remarks on a Lioville-type theorem for Beltrami flows}, Int. Math. Res. Not., {\bf 20} (2015), 10012-10016. \bibitem{CLV} P. Constantin, J. La, and V. Vicol, {\em Remarks on a paper by Gavrilov: Grad-Shafranov equations, sready solutions of the three dimensional incompressible Euler equations with compactly supported velocities, and applications}, GAFA, {29} (2019), 1773-1793. \bibitem{G} A.V. Gavrilov, {\em A steady Euler flow with compact support}, GAFA, {\bf 29} (2019), 190-197. \bibitem{NV} N. Nadirashvili and S. Vladuts, {\em Integral geometry of Euler equations}, Arnold Math. J. {3:3} (2017), 397-421, arXiv:1608.08850. \bibitem{RS} V. Yu. Rovenski and V. A. Sharafutdinov, {\em Steady flows of ideal incompressible fluid with velocity pointwise orthogonal to the pressure gradient}, Arnold Math. J., to appear. See also arXiv:2209.14572. \bibitem{Sh} V. Sharafutdinov, {\em Orthogonality relations for a stationary flow of ideal fluid}, Siberian Math. J. {\bf 59:4} (2018), 731-752. \bibitem{Sh2} V. Sharafutdinov, {\em Two-dimensional Gavrilov flows}, Siberian Electronic Math. Reports (SEMR), to appear. \bibitem{Sh3} V. Sharafutdinov, {\em A Radon type transform related to the Euler equations for ideal fluid}, SEMR, to appear. \end{thebibliography}

Cite: Шарафутдинов В.А.
Геометрия идеальной жидкости
In compilation Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 4 октября – 8 октября 2023 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2023. - 256 с.. – Аэтерна, 2023., 2023. – Т.1. – C.150-152. РИНЦ

Identifiers:

Elibrary:

56754723

Citing: Пока нет цитирований