Abstract: Интегральные операторы играют основополагающую роль в постановках, исследовании и методах решения задач интегральной геометрии и томографии. В этих операторах отражена суть методов томографии, заключающаяся в неразрушающем объекты получении информации, накапливающейся вдоль лучей. Интегральные операторы можно охарактеризовать и как инструменты математических моделей, построенных на основе реальных физических принципах сбора томографических данных. Хороший пример такого оператора - широко известное преобразование Радона. В настоящее время список интегральных операторов, описывающих исходные данные в задачах интегральной геометрии и томографии, весьма обширен [1]. Это операторы обобщенных преобразований Радона, весовых лучевых преобразований вдоль геодезических римановой метрики, действующих на тензорные поля [2]-[4]. Вторая группа интегральных операторов предназначена для исследований и решения задач интегральной геометрии и тесно связанных с ними задач рефракционной тензорной томографии [2]. При решению задачи определения функции по ее преобразованию Радона на основе формул обращения, используются, в частности, операторы обратной проекции, потенциал Рисса, преобразования Фурье и Гильберта. Обобщение оператора обратной проекции привело к понятию угловых моментов экспоненциальных лучевых преобразований функций и симметричных тензорных полей Установлены свойства экспоненциальных лучевых преобразований с весом и угловых моментов лучевых преобразований тензорных полей. Доказаны теоремы единственности краевых задач и задач Коши, поставленных в стационарном и нестационарном случаях [4]. Отмечены тесные связи экспоненциальных лучевых преобразований с задачами интегральной геометрии тензорных полей с весом и задачами томографии в различных постановках. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно исследовательского общества (проект \No~19-51-12008). ЛИТЕРАТУРА 1. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, 1993. 2. Svetov I.E., Derevtsov E.Yu., Volkov Yu.S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium. Mathematics and Computers in Simulation. Vol. 97. p. 207-223. 3. Derevtsov E.Yu., Svetov I.E. Tomography of tensor fields in the plane. Eurasian J. Math. Comp. Applications. 2015. Vol. 3, No. 2. p. 24-68. 4. Деревцов Е.Ю. Об одном обобщении экспоненциального лучевого преобразования в томографии. Сиб. журнал чистой и прикладной математики. 2018. Т. 18, вып. 4. с. 29-41.

Cite: Деревцов Е.Ю. , Волков Ю.С. , Schuster T.
Интегральные операторы в постановках и исследовании задач тензорной томографии
Международная конференция «Математика в приложениях» в честь 90-летия Сергея Константиновича Годунова 04-10 авг. 2019