Abstract: 32nd St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis А.Д. Медных   Институт математики им. С.Л. Соболева, Новосибирский государственный университет   «Спектральные инварианты циркулянтных графов и их приложения в комбинаторном анализе»   Цель настоящего доклада – изучение спектральных инвариантов циркулянтных графов и их обобщений. Циркулянтные графы возникают как циклические накрытия одновершинного графа с заданным числом петель. Более сложными представителями семейства циклических накрытий являются I-, Y-, H- графы, обобщенные графы Петерсена, сэндвич-графы, дискретные торы и многие другие.  В докладе будут приведены аналитические формулы, позволяющие вычислять число отмеченных остовных лесов и деревьев в циклических накрытиях, найдена их асимптотика и изучены арифметические свойства этих чисел. Кроме того, для циркулянтных графов будут указаны точные формулы для вычисления индекса Кирхгофа и установлено, что, с точностью до экспоненциально малого остаточного члена, они задаются полиномами третьей степени.  Все эти величины являются спектральными инвариантами, то есть зависят от собственных значений характеристического полинома матрицы Лапласа. Структура самого полинома для циркулянтных графов оставалась неизвестной. В недавних работах [Xiaogang Liu и Sanming Zhou (2012), Xiaogang Liu и Pengli Lu (2016)] было обнаружено, что характеристические полиномы для ряда известных семейств графов, таких как тета-граф, гантельный граф и граф пропеллера эффективно выражаются через полиномы Чебышева. Эти результаты дали ключ к пониманию структуры характеристического полинома для циркулянтных графов.   Мы покажем, что характеристический полином представляется в виде конечного произведения алгебраических функций, вычисленных в корнях линейной комбинации полиномов Чебышева. Это, в частности, позволят установить периодичность таких полиномов в предписанных целых точках, что представляет интерес с точки зрения дискретной топологической динамики.    ЛИТЕРАТУРА   [1] А. Д. Медных, И. А. Медных, Циклические накрытия графов. Перечисление отмеченных остовных лесов и деревьев, индекс Кирхгофа и якобианы, Успехи  математических наук, 2023, т. 78, вып. 3 (471), с. 115--160.

Cite: Mednykh A.D.
Spectral invariants of circulant graphs and their application in combinatorial analysis
32nd St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis 01-06 Jul 2023