Abstract: В 2015 году Дж. Холл, Ф. Рейрен и С. Шпекторов ввели понятие аксиальной алгебры. Это класс (неассоциативных) коммутативных алгебр, порождённых специфическими идемпотентами, и на произведение в которых налагаются ограничения определённого типа. Аксиальные алгебры йорданова типа по свойствам близки к йордановым алгебрам. Алгебра Грайсса, чья группа автоморфизмов изоморфна группе Монстра, является аксиальной алгеброй монстрового типа. В 2020 году Т. Ябе описал все двупорождённые аксиальные алгебры монстрового типа, допускающие перестановку порождающих осей. В списке Ябе встречается 4-мерная алгебра S(a,E), свойства которой изучались Дж. Макинроем и С. Шпекторовым в 2022 году. Эту алгебру можно естественным образом обобщить до алгебры S(a,t,E), где a,t - параметры из основного поля, а E - векторное пространство, снабжённое невырожденной билинейной формой. При a\neq0,1 и t\neq0$ алгебра S(a,t,E) проста. В совместной работе с А.С. Панасенко и Ф. Машуровым предложено обобщение конструкции отточенной кубической формы, которая в классическом случае даёт йорданову алгебру. На основе соотношений, выполненных на этой конструкции, доказано, что алгебра S(a,t,E) удовлетворяет тождеству ((a,b,c),d,b) + ((c,b,d),a,b) + ((d,b,a),c,b) = 0 (1), где (a,b,c) = (ab)c - a(bc) - ассоциатор тройки элементов a,b,c. Показано, что все тождества степени не выше 5, выполненные на алгебре S(a,t,E), следуют из коммутативности и тождества (1). Модификация ассоциатора задаёт на пространстве S(a,t,E) тройную лиеву систему.

Cite: Губарев В.Ю.
Обобщение конструкции алгебры кубической формы и аксиальные алгебры монстрового типа
Третья конференция Математических центров России 10-15 окт. 2023