Abstract: Пусть $M$ --- однородное пространство компактной связной группы Ли $G$ и $A$ --- замкнутая $G$-инвариантная подалгебра банаховой алгебры $C(M)$ всех непрерывных функций на $M$. Предполагается, что $A$ содержит все постоянные функции. Как и у всякой коммутативной банаховой алгебры, каждый максимальный идеал $A$ имеет коразмерность 1 и замкнут. %Поэтому он является ядром непрерывного мультипликативного линейного функционала, то есть гомоморфизма %из $A$ в $\bbC$. Множество $\ecM_{A}=\mbox{\rm{Hom}}\,(A,\bbC)$ называют пространством максимальных идеалов $A$ или спектром $A$. В докладе будет рассматриваться задача описания пространств максимальных идеалов инвариантных алгебр. Если $G\subseteq\UU(n)$, $M$ --- одна из орбит $G$ в $\bbC^{n}$, а алгебра $A$ представляет собой замыкание в $C(M)$ пространства $\cP$ всех голоморфных полиномов, то вопрос сводится к построению полиномиально выпуклой оболочки $M$, то есть множества %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{eqnarray*} \widehat M=\{z\in\bbC^{n}:\, |p(z)|\leqslant\|p\|_{M}~\text{для всех $p\in\cP$}\}, \end{eqnarray*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% где $\|p\|_{M}=\max_{x\in M}|p(x)|$. Алгебра $A$ содержит наибольший собственный $G$-инвариантный идеал $\ecJ$. Он замкнут. Определим два класса инвариантных алгебр в соответствии с крайними ситуациями для $\ecJ$: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{itemize} \item[$\frA$:] ${\mathop{\rm{codim}} \ecJ}=1$, \item[$\frB$:] $\ecJ=0$. \end{itemize} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Если $A\in\frA$, то $G$ имеет неподвижную точку в $\ecM_{A}$. У алгебр класса $\frB$ нет собственных инвариантных идеалов. Алгебры из этих классов существенно различаются, а из них можно составить $\ecM_{A}$ в общем случае. Положим $B=A/\ecJ$, $C=\ecJ+\bbC$. Тогда $C\in\frA$, у $B$ нет собственных инвариантных идеалов, а $\ecM_{A}$ разбивается на две части, одна из которых изоморфна $\ecM_{B}$, а вторая --- $\ecM_{C}$ с выброшенной неподвижной точкой. Таким образом, возможный путь к решению задачи состоит в изучении алгебр из классов $\frA$ и $\frB$ и способа склейки $\ecM_{B}$ c $\ecM_{C}\setminus\{\ecJ\}$. Подробное описание $\ecM_{A}$ пока есть лишь для алгебр на однородных пространствах вида $G\times G/G$ (см. \cite{G23}). В этом случае в $\ecM_{A}$ имеется естественная структура полугруппы с инволюцией, а также аналитическая структура. Из результатов \cite{G23} можно извлечь следующий критерий: $A\in\frA$ тогда и только тогда, когда $A$ антисимметрична (последнее означает, что все вещественные функции из $A$ постоянны). В работе \cite{G08} рассматривались инвариантные алгебры на коммутативных однородных пространствах. Одно из определений таких пространств состоит в том, что сверточная алгебра интегрируемых на $M=G/K$ функций, постоянных слева и справа по $K$, коммутативна. В ней приведенный выше критерий включения $A\in\frA$ распространен на этот класс однородных пространств. В \cite{G08} есть и критерий включения $A\in\frB$: это так в том и только в том случае, когда $A$ выдерживает комплексное сопряжение. В статье \cite{GL01} показано, что орбита $M$ связной компактной линейной группы полиномиально выпукла тогда и только тогда, когда ее комплексификация $M^{\bbC}$ замкнута и $M$ является ее вещественной формой. Об алгебрах класса $\frB$ пока известно не очень много, однако есть примеры, показывающие, что они связаны с известными объектами комплексной геометрии. \begin{thebibliography}{9999} %\bibitem{G79} %В. М. Гичев, “Инвариантные алгебры функций на группах Ли”, %Сиб. матем. журнал, 20:4 (1979), 23-36 \bibitem{G23} Gichev V. M., “Maximal Ideal Spaces of Invariant Function Algebras on Compact Groups'', Sib. Adv. in Math. 33:2 (2023), 107-139. \bibitem{G08} Gichev V. M., “Invariant Function Algebras on Compact Commutative Homogeneous Spaces”, Mosc. Math. J. 8:4 (2008), 697–709. \bibitem{GL01} Gichev V. M., Latypov I. A., “Polynomially convex orbits of compact Lie groups”, Transform. Groups, 6:4 (2001), 321-331. \end{thebibliography}

Cite: Gichev V.M.
Пространства максимальных идеалов инвариантных алгебр функций на однородных пространствах компактных групп Ли
Комбинаторно-вычислительные методы алгебры и логики 26-30 сент. 2023