Abstract: Гиперболическая структура на трехмерном коническом многообразии с узлом в качестве сингулярного множества как правило может быть деформирована в предельную евклидову структуру. В нашей работе [1] мы показываем, что соответствующий нормированный евклидов объем многообразия всегда является алгебраическим числом, то есть корнем некоторого многочлена с целочисленными коэффициентами. Этот результат служит обобщением (для конических многообразий) известной теоремы Сабитова об объемах евклидовых многогранников, давшей ответ на проблему кузнечных мехов. Установленный нами факт выделяется на фоне гиперболических объемов, теоретико-числовая природа которых обычно весьма сложна. Кроме указанной теоремы, в нашей работе [1] предложен алгоритм, позволяющий явно вычислить минимальный многочлен для нормированного евклидова объема. [1] N. Abrosimov, A. Kolpakov, A. Mednykh, Euclidean volumes of hyperbolic knots // Proceedings of American Mathematical Society, DOI: https://doi.org/10.1090/proc/16353

Cite: Abrosimov N.V.
Euclidean volume of a cone manifold over a hyperbolic knot
Geometric and Algebraic Methods in Knot Theory 16-20 Sep 2023