Abstract: В докладе дан обзор последних результатов по нахождению точных формул для вычисления объемов гиперболических тетраэдров. Представлена классическая формула Г.Сфорца [1] (ее современное доказательство предложено в [2]), которая выражает объем гиперболического тетраэдра общего вида в терминах двугранных углов, а также формула через длины ребер, полученная в недавней работе автора с Б. Выонгом [2]. Известные формулы для объема гиперболического тетраэдра общего вида весьма сложны и не всегда могут быть применены для вычисления объемов более сложных многогранников, поэтому возникает задача найти более удобные и простые формулы для достаточно широких семейств гиперболических тетраэдров. В докладе рассмотрены гиперболические тетраэдры специальных видов: идеальные, биортогональные, 3-ортогональных и их обобщения. Объем идеального и биортогонального тетраэдра был известен еще Н.И. Лобачевскому. Мы представили новые формулы для вычисления объемов и нормализованных объемов 3-ортогональных тетраэдров, а также 4-параметрического семейства гиперболических тетраэдров, у которых одно ребро ортогонально грани. Последние формулы получены автором совместно с С.В. Степанищевым. Они могут применяться для вычисления объемов более сложных многогранников в пространстве Лобачевского. [1] G. Sforza, Spazi metrico-proiettivi // Ricerche di Estensionimetria Integrale, Ser. III, VIII (Appendice) (1907), 41–66. [2] N.V. Abrosimov, A.D. Mednykh, Volumes of polytopes in constant curvature spaces // Fields Inst. Commun., 2014, V. 70, P. 1–26. arXiv:1302.4919 [3] N. Abrosimov, B. Vuong, Explicit volume formula for a hyperbolic tetrahedron in terms of edge lengths // Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2021, V. 30, No. 10, 2140007. arXiv:2107.03004

Cite: Abrosimov N.V.
On the volume of hyperbolic tetrahedron
Colloquium of the Sino-Russian Mathematics Center JLU 20-20 Aug 2023