Abstract: В настоящем докладе мы рассмотрим анизотропное параболическое уравнение, 𝑢_𝑡 −Σ︁(|𝑢_{𝑥_𝑖} |^{𝑝_𝑖(𝑡,𝑥)−2}𝑢_{𝑥_𝑖})_{𝑥_𝑖} = ℬ(𝑡, 𝑥, 𝑢,∇𝑢) (1), имеющее, много приложений в механике сплошных сред. При изучении этих уравнений вида методы вариационного исчисления, различные топологические, а также аппроксимационные методы. В силу вырожденности и даже сингулярности этих уравнений вида (1), решения краевых задач для него ищутся в классе слабых решений, в основном соболевских, понимаемых в интегральном смысле. Использование аппроксимационных методов, основанных на регуляризации, позволяющей доказать классическую разрешимость регуляризованной задачи, дает возможность получить решения максимальной гладкости, известной на сегодняшний день. Предельный переход по классическим решениям осуществляется с помощью метода монотонности Минти–Браудэра. Но этот подход реализуем в случае линейности ℬ(𝑡, 𝑥, 𝑢,∇𝑢) по градиенту, поскольку иначе возникает непреодолимая проблема предельного перехода в нелинейных по градиенту членах. Отметим, что в последние годы было получено много результатов о разрешимости краевых задач для (1) в классе вязких по Лионсу решений. Именно в этом классе слабых решений, которые, в отличие от соболевских, определяются поточечно, удалось решить проблему разрешимости в случае нелинейной по градиенту функции ℬ(𝑡, 𝑥, 𝑢,∇𝑢). Преимущество указанного подхода заключается в том, что осуществление предельного перехода по вязким решениям, коими являются, в частности, и классические решения, возможно при более слабых априорных оценках на решения регуляризованной задачи. Используя аппарат вязких решений, нам удалось доказать существование непрерывных по Липшицу по пространственным переменным решений первой краевой задачи для уравнений вида (1) с переменными показателями анизотропности в случае,когда ℬ(𝑡, 𝑥, 𝑢,∇𝑢) не удовлетворяет условию Бернштейна–Нагумо .

Cite: Терсенов А.С.
Вязкие решения анизотропных параболических уравнений
Всероссийская конференция «Математические проблемы механики сплошных сред», посвящённая 105-летию со дня рождения академика Л. В. Овсянникова. 13-17 мая 2024