Abstract: В логиках с сильным отрицанием ∼ условия истинности и ложности формул определяются параллельно, а сильное отрицание позволяет переходить от условий истинности к условиям ложности и наоборот. Вследствие этого слабая эквивалент- ность φ ↔ ψ, определяемая обычным образом, означает лишь, что в каждом из возможных миров формулы φ и ψ одновременно истинны. Сильная эквивалентность φ ↔ ψ := (φ ↔ ψ)∧(∼φ ↔ ∼ψ) сохраняет как истинность, так и ложность формул и яв- ляется конгруенцией на алгебре формул. Именно эта эквивалентность используется при стандартном определении дефинициальной эквивалентности (d-эквивалентости) логик с сильным отрицанием. В [1] определена слабая d-эквивалентность за счет замены ⇔ на ↔ и отказа от условия на ∼ в определении структурной трансляции. Оказалось [1], что различные версии Белнаповских модальных логик являются слабо d-эквивалентными. В [3] определены так называемые bl-логики как логики, язык которых содержит сильное отрицание, правило отделимости для слабой эквивалентности является производным и есть формула ⊙(p, q) такая, что для любых формул φ и ψ доказуемы следующие слабые эквивалентности: ⊙(φ, ψ) ↔ φ, ∼ ⊙ (φ, ψ) ↔ ψ. В [3] также доказано, что для bl-логик из слабой d-эквивалентности следует d-эквивалентность. В данном докладе мы сделаем обзор упомянутых результатов и перейдем от взаимной определимости логик к изучению определимости параметров в логиках с сильным отрицанием. Для расширений избыточной логики Нельсона N3 мы докажем аналог известной теоремы Крайзеля [2], утверждающей, что каждая суперинтуиционистская логика удовлетворяет свойству Бета, т.е. в каждой из таких логик из неявной определимости следует явная определимость. Оказывается, что в расширениях логики N3 из сильной неявной определимости (однозначно определяющей как истинность, так и ложность параметра q) следует слабая явная определимость, при которой условия истинности и ложности для q определяются при помощи различных формул. [1] S.P. Odintsov, H. Wansing, Disentangling FDE-based paraconsistent modal logics, Studia Logica, 105 (2017), 1221—1254. [2] G. Kreisel, Explicit definability in intuitionistic logic, The Journal of Symbolic Logic, 25 (1960), 389–390. [3] S.P. Odintsov, D. Skurt, H. Wansing, On Definability of Connectives and Modal Logics over FDE, Logic and Logical Philosophy, 28 (2019), 631–659.

Cite: Одинцов С.П. , Анищенко Д.М.
Сильная и слабая определимость в логиках с сильным отрицанием
IV Конференция математических центров России, посвященная 300-летию СПбГУ и РАН. 06-11 авг. 2024