Abstract: Рассмотрены классы отображений групп Карно, являющихся липшицевыми во внутреннем смысле и определенных на измеримых подмножествах, и описаны метрические характеристики их образов при условии, что на области значений задана сублоренцева структура. Такая структура является субримановым обобщением геометрии Минковского. Одной из ее особенностей является неограниченность шаров, построенных относительно внутреннего расстояния. В сублоренцевой геометрии интерес представляет исследование пространственноподобных поверхностей, пересечения которых с такими шарами ограничены. Если отображение определено на открытом множестве, то формулировка критерия пространственноподобия сводится к рассмотрению связной компоненты пересечения, содержащей центр шара, и анализу свойств матрицы субриманова дифференциала. Если же область определения отображения не является открытым множеством, то возникает вопрос, какие можно задать условия на отображение, гарантирующие ограниченность пересечения образа компактного множества с шаром во внутренней метрике. В рамках исследований этот вопрос решен: рассматривается та часть пересечения, которая параметризуется связной компонентой пересечения образа субриманова дифференциала и шара. Кроме того, с помощью таких локальных параметризаций введена функция множества, являющаяся аналогом меры Хаусдорфа, и показано, что она является мерой на сигма-алгебре борелевских множеств. В качестве приложения установлена сублоренцева формула площади.

Cite: Карманова М.Б.
Площадь образов измеримых множеств на сублоренцевых структурах
Математика в Академгородке 02-04 дек. 2024