Abstract: Лучевое преобразование $I$ сопоставляет определенному на $\mathbb{R}^n$ симметричному тензорному полю $f$ валентности $m$ его интегралы по прямым. Оно возникает в различных томографических задачах, в частности, в компьютерной ($m=0$) и допплеровской ($m=1$) томографии. При $m\geq1$ лучевое преобразование имеет нетривиальное ядро; зная лучевое преобразование $If$, можно восстановить лишь так называемую {\it соленоидальную часть} тензорного поля $f$. Отметим также, что в случае $m=0$ и $n=2$ лучевое преобразование совпадает с преобразованием Радона $\mathcal{R}$ с точностью до обозначений. Формула обращения Кормака для преобразования Радона позволяет выразить коэффициенты Фурье ${\hat f}_\ell$ функции $f$ через коэффициенты Фурье её преобразования Радона $\mathcal{R}$. В двумерном случае эта формула была получена Кормаком \ref{Cr2}, и она даёт решение \emph{внешней задачи}, когда преобразование Радона $\mathcal{R}f$ известно лишь для прямых, не пересекающих открытый круг заданного радиуса $r_0>0$ с центром в начале координат, и функция $f(x)$ восстановливается лишь для $|x|\ge r_0$. В настоящей работе получены формулы обращения Кормака для двумерного лучевого преобразования, восстанавливающие соленоидальную часть тензорного поля $f$ валентности $m=1, \, 2$ по лучевому преобразованию $If$, а также приводится пример численного восстановления соленоидального векторного поля.

Cite: Вайцель Н.А.
Формула обращения Кормака для двумерного лучевого преобразования симметричных тензорных полей валентности m=1,2
63-я Международная научная студенческая конференция 16-22 апр. 2025