Abstract: Рассматривается неоднородное волновое уравнение $\sigma(x)u^m_t+q(x) u^p$, $m>1$, $p>1$ и исследуются прямая и обратная задачи для этого уравнения. Пусть $T$~--- вещественное положительное число. \medskip \textbf{Прямая задача.} Требуется найти функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую соотно\-ше\-ниям \begin{gather} u_{tt}-u_{xx} -\sigma(x)u^m_t -q(x) u^p=0,\quad x>0, \quad t\in(0,T], \tag{1}\\ u|_{t=0}=u_t|_{t=0}=0, \tag{2}\\ u|_{x=0}=f(t), \tag{3} \end{gather} в которых $\sigma(x)$ и $q(x)$~--- непрерывные функции; $m>1$ и $p>1$~--- вещественные числа; $f(t)$~--- дважды непрерывно-дифферен\-ци\-руемая функция, удовлетворяющая следующим условиям: $f(0)=a>0$, $f'(0)=b$, где $a$, $b$~--- некоторые постоянные. \medskip \textbf{Обратная задача.} Пусть $f_k(t)$~--- заданные функции, $k=1,2$, такие что $f_k(0)=a_k>0$, $f'_k(0)=b_k$, и числа $a_k$ и $b_k$ удовлетворяют условию $a_1^pb_2^m-a_2^pb_1^m\neq0$. Решение прямой задачи (1)--(3) при $f=f_k$, $k=1,2$ обозначим $u^k(x,t)$, $k=1,2$. Требуется найти функции $\sigma(x)$ и $q(x)$ по заданной информации о~решениях $u^k(x,t)$: \begin{equation} u^k_x|_{x=0}=h_k(t),\quad t\in[0,T], ~k=1,2. \tag{4} \end{equation} \medskip Найдены условия однозначной разрешимости прямой задачи. Для обратной задачи доказаны локальные теоремы существования и единственности. Полученные результаты являются новыми в теории обратных задач (см.~\cite{Romanov}).) \medskip Работа выполнена в~рамках государственного задания Института математики им. С.\,Л.~Соболева (проект FWNF-2022-0009) \begin{ltrte} \bibitem{Romanov} {\it Romanov V.G., Bugueva T.V.} An one-dimensional inverse problem for the wave equation // Euras. J.~Math. Comput. Appl. 2024. V.~12. No.~3. P.~135--162. \end{ltrte}

Cite: Романов В.Г. , Бугуева Т.В.
Одномерная обратная задача для волнового уравнения
Современные проблемы обратных задач : IV международная научная конференция 02-04 окт. 2025