Abstract: Аннотация курса: Геодезические кривые на двумерной поверхности, как известно, являются естественным аналогом прямой линии на плоскости. Поиск двумерных римановых метрик, уравнения геодезических которых интегрируются в квадратурах, является одной из классических задач дифференциальной геометрии. Согласно теореме Арнольда-Лиувилля, для интегрируемости необходимо наличие дополнительного первого интеграла, независимого от интеграла энергии. В типичном случае поиск такого интеграла является сложной задачей ввиду необходимости решать некоторые системы дифференциальных уравнений в частных производных. В настоящем курсе лекций мы проинтегрируем уравнения геодезических на произвольной поверхности вращения, вложенной в R3, и нарисуем сами геодезические на некоторых поверхностях вращения "от руки". Далее будет рассказано про обобщенный метод годографа, разработанный С.П. Царевым и позволяющий строить точные решения так называемых "полугамильтоновых" систем - специального класса квазилинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Наконец, будут рассмотрены геодезические потоки в ненулевом магнитном поле. Мы обсудим различные вопросы, связанные с интегрируемостью таких потоков на одном, нескольких или сразу на всех уровнях энергии.

Cite: Агапов С.В.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
Студенческая школа-конференция "Математическая весна" 25-28 мар. 2025