Abstract: Группа Ли ${\rm GL}^+(2,\mathbb{C})$ всех невырожденных комплексных $(2\times 2)$-матриц с положительным вещественным определителем семимерна и включает шестимерную группу Ли ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ всех унимодулярных комплексных $(2\times 2)$-матриц. Линейное подпространство $H$ всех эрмитовых матриц в алгебре Ли $\mathfrak{gl}^+(2,\mathbb{C})$ группы Ли ${\rm GL}^+(2,\mathbb{C})$ порождает $\mathfrak{gl}^+(2,\mathbb{C})$ и, снабженное квадратичной формой $4\det h,$ $h\in H,$ сигнатуры $(+,-,-,-)$, изометрично четырехмерному пространству-времени Минковского. Это вместе с временной ориентацией задает левоинвариантную сублоренцеву структуру на группе Ли ${\rm GL}^+(2,\mathbb{C})$, индуцирующую левоинвариантную сублоренцеву (анти)метрику $d$ на ${\rm GL}^+(2,\mathbb{C})$. На основе сформулированной нами задачи оптимального медленнодействия и принципа минимума Понтрягина для нее, используя геодезические некоторой левоинвариантной субримановой метрики на группе Ли ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$, мы нашли непространственноподобные, т.е. времениподобные или изотропные экстремали сублоренцевой (анти)метрики $d$ на ${\rm GL}^+(2,\mathbb{C})$. Установлено, что все так называемые нормальные (и нестрого анормальные) непространственноподобные сублоренцевы экстремали на ${\rm GL}^+(2,\mathbb{C})$ являются геодезическими, т.е. локально длиннейшими.

Cite: Зубарева И.А. , Берестовский В.Н.
О сублоренцевых экстремалях на $GL^{+}(2,C)$ с порождающим пространством эрмитовых матриц в алгебре Ли этой группы Ли
Омская конференция по геометрии и ее приложениям 13-16 окт. 2025