Abstract: Однородный многочлен называется вполне приводимым над полем $\bbF$, если он разлагается в произведение $\bbF$-линейных форм. Пусть $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, $\bbF=\bbR$ и $\cH_{n},\,\cD_{n}$ -- семейства всех гармонических и всех вполне приводимых многочленов в пространстве $\cP_{n}(\bbR^{3})$ однородных многочленов степени $n$ соответственно. Тогда для каждого $h\in\cH_{n}$ существуют единственные $p\in\cD_{n}$ и $q\in\cP_{n-2}$, такие что $h=p+r^{2}q$. Сильвестр привел набросок доказательства этой теоремы в своей заметке о сферических гармониках в качестве замечания к теории полюсов Максвелла. Если $\bbF=\bbC$, то те же равенства справедливы для некоторых $p,\,q$, но единственности обычно нет. Для $h$ общего положения есть $(2n-1)!!$ таких многочленов. Положим $\La_{h}=(h+r^{2}\cP_{n-2})\cap\cD_{n}$. В статье доказывается, что $h=\frac1{(2n-1)!!}\sum_{p\in\La_{h}}p$, т.е. $h$ --- центр масс $\La_{h}$. Это влечет квадратичные алгебраические соотношения между сферическими гармониками.

Cite: Гичев В.М.
Полюса Максвелла и комплексные сферические гармоники на S^2
Омская конференция по геометрии и ее приложениям 13-16 окт. 2025