Abstract: Диффузионные потоки на алгебраических структурах издавна привлекали внимание математиков [1--2]. Функционалы от решений диффузионных уравнений давали неоценимую информацию о строении самого многообразия. Впервые это выяснилось, когда удалось получить краткое доказательство теоремы об индексе эллиптического оператора в главном расслоении с помощью так называемого метода теплового ядра (a method of heat kernel), автором которого является М. Кац [3]. С другой стороны, в последние годы, в основном, в теоретической физике все большее внимание уделяется исследованию дискретных вариантов физических моделей. Это связано с тем, что такие модели, как считают физики, несут в себе основные математические трудности, но при этом не отягощены функциональными конструкциями. В настоящей работе рассматривается следующая обратная задача. Мы рассматриваем случайное блуждание на регулярной решетке <<с повреждениями>>. Ставится задача: какие <<удобные для измерения>> функционалы от решения дискретного аналога уравнения теплопроводности можно выбрать наиболее эффективным образом для определения характеристик повреждения среды. Рассмотрен ряд некоторых обратных задач, для которых получены точные аналитические решения. В качестве эффективного инструмента для построения задач, имеющих точное аналитическое решение, использовался подход, основанный на дискретном аналоге интеграла Винера.

Cite: Бондаренко А.Н. , Бугуева Т.В. , Фадеев С.А.
Обратные задачи теории случайных блужданий на решетках
International Conference "Mathematics in the Modern World" dedicated to the 60th anniversary of the foundation of the Sobolev Institute of Mathematics 14-19 авг. 2017