Abstract: Многие физические процессы описываются уравнениями параболического типа. К примеру, распространение тепла в сплошной среде и квазистатические процессы в рамках теории упругости и ее модификаций (включая пороупругость) описываются такими моделями. Стандартный конечно-разностный подход в соответствующих задачах во временной области зачастую требует малого шага по времени, что приводит к существенным вычислительным затратам. В данной статье предлагается альтернативный подход к численному решению параболических задач с использованием полиномов Чебышева. В частности, дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа вначале пространственной дискретизацией сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. В полученной задаче явное решение состоит из двух компонент, зависящих от матричной экспоненты, начальных условий и внешних источников. Численный метод основывается на приближении матричной экспоненты неполным разложением по матричным полиномам Чебышева с коэффициентами в форме модифицированных функций Бесселя первого рода. В работе приведено указанное приближенное решение исходного уравнения, кратко описан процесс его вычисления и предложен критерий остановки на основе необходимого числа первых слагаемых разложений обеих частей решения. На примере одномерной задачи теплопроводности выполнена верификация численного алгоритма сравнением с результатами использования классической явной конечно-разностной схемы. Кроме того, выполнено сравнение вычислительных затрат двух подходов на примере числа условных операций умножения матрицы на вектор.

Cite: Новиков М.А. , Лисица В.В.
Численное решение параболического уравнения с использованием разложения матричной экспоненты по полиномам Чебышева в задачах моделирования физических процессов в многомасштабных средах
Интерэкспо ГЕО-Сибирь. 2026. Т.2. №2. С.101-109. DOI: 10.33764/2618-981X-2026-2-2-101-109 РИНЦ OpenAlex

Dates:

Published print:	Sep 18, 2026
Published online:	Sep 18, 2026

Identifiers:

≡ Elibrary:	91915347
≡ OpenAlex:	W7223783841

Altmetrics: