Реферат: Рассмотрим n-мерное линейное пространство V=F^n над конечным полем F=GF(q) и его координатное представление в стандартном базисе. Произвольное подмножество C⊆V называется кодом длины n. Код, образующий подпространство в V, линейный. Элементы кода называются кодовыми словами. Напомним, что расстояние Хэмминга d(x,y) между векторами x,y∈V определяется количеством координат, в которых различаются x и y. Число w(x)=d(0,x) отражает вес вектора x∈V . Минимальное ненулевое расстояние между кодовыми словами кода C∈V называется кодовым расстоянием C и обозначается через d(C). Пусть σ=(σ_1,σ_2,...,σ_n) — набор перестановок из симметрической группы S_q, действующей на элементах поля F. Хорошо известно, что преобразование пространства σ:V→V, заданное на произвольном векторе x∈V по правилу σ(x)=(σ_1(x_1),σ_2(x_2),...,σ_n(x_n)), сохраняет попарные расстояния между векторами, т. е. является изометрией. Изометрию такого вида будем называть изотопией. Два кода C,C′⊆V изотопны, если C′=σ(C) для некоторой изотопии σ пространства V. Код, изотопный линейному коду, назовем псевдолинейным. Рассмотрим линейный код C⊆V с кодовым расстоянием не меньше 2 и подействуем, например, на первую координату кодовых слов транспозицией (01). Образ кода C при таком отображении обозначим через C′. Поскольку C линейный, для каждого элемента a∈F в коде содержится одинаковое количество кодовых слов со значением первой координаты, равным a. Поэтому |C∩C′|=|C|(q−2)/q. Оказывается, указанное число отражает максимальную мощность пересечения не только для линейного и изотопного ему псевдолинейного кодов, но и для двух произвольных псевдолинейных кодов. В настоящей работе доказана ТЕОРЕМА. Для различных псевдолинейных кодов C1,C2⊆V одинаковой мощности имеет место |C1∩C2|≤|C|(q−2)/q. Эта теорема устанавливает минимальное межкодовое расстояние в классе линейных и им изотопных кодов одной мощности M. Именно, если расстояние между кодами измерять мощностью их симметрической разности, получим, что минимальное расстояние в указанном классе равно 4M/q.

Библиографическая ссылка: Августинович С.В. , Горкунов Е.В.
Максимальное пересечение линейных и изотопных им кодов
Международная конференция "Мальцевские чтения" 19-23 авг. 2019