Реферат: Конструктивная логика Нельсона с сильным отрицанием ${\sf N4}$ и логика Вансинга ${\sf C}$ относятся к разным направлениям неклассической логики. Первая (${\sf N4}$ ) является альтернативной формализацией интуиционистской логики, а вторая относится к семейству коннексивных логик, основанных на идеях Аристотеля и Боэция. Обе логики, тем не менее, обладают сходными реляционными семантиками, а также следующей отличительной чертой. Логики ${\sf N4}$ и ${\sf C}$ не замкнуты относительно правила замены эквивалентных, но замкнуты следующей слабой формы этого правила, допускающей замену эквивалентных в формулах без сильного отрицания. Данная форма правила замены и интуиционистский позитивный фрагмент приводят к тому, что алгебраическая семантика логик ${\sf N4}$ и ${\sf C}$ задается при помощи твист-структур над импликативными решетками. Это алгебраические системы, которые заданы на декартовом квадрате носителя импликативной решетки, при этом операции задаются не по-компонентно как на декартовом произведении, а скручиваются определенным образом. Твист-структуры для ${\sf C}$ будем называть коннексивными. Мы будем также рассматривать обогащения ${\sf N4}^{\bot}$ и ${\sf C}^{\bot}$ логик ${\sf N4}$ и ${\sf C}$ соответственно при помощи константы $\bot$, удовлетворяющей аксиомам $\bot\rightarrow p$ и $\mathord{\sim}\bot$. Для этих обогащений твист-структуры нужно определять над алгебрами Гейтинга. В данном докладе мы определим синтаксически многообразия $\mathsf{N4}$- и $\mathsf{N4}^{\perp}$-алгебр, а также многообразия $\mathsf{C}$- и $\mathsf{C}^{\perp}$-алгебр. Установим, что эти многообразия являются абстрактными замыканиями соответствующих классов твист-структур, и докажем что логики $\mathsf{N4}$, $\mathsf{N4}^{\perp}$, $\mathsf{C}$ и $\mathsf{C}^{\perp}$ алгебраизуемы в смысле Блока и Пигоцци относительно введенных многообразий. Результаты об алгебраизуемости будут перенесены на аксиоматические расширения данных логик. Мы представим также начала структурной теории $\mathsf{N4}$- и $\mathsf{N4}^{\perp}$-, $\mathsf{C}$- и $\mathsf{C}^{\perp}$-алгебр, а также сравним строение решеток расширений соответствующих логик.

Библиографическая ссылка: Одинцов С.П.
Об алгебраической семантике логик без правил замены: конструктивная N4 и коннексивная C
Третья конференция Математических центров России 10-15 окт. 2023