Реферат: Классическая формула Решетняка для преобразования Радона $R$ утверждает, что $$ \|f\|_{L^2({\mathbb R}^n)}=\|Rf\|_{H^{(n-1)/2}_{(n-1)/2}({\mathbb S}^{n-1}\times{\mathbb R})} $$ для определенной на ${\mathbb R}^n$ функции $f$. Эта формула обобщается на соболевские нормы $$ \|f\|_{H^s_t({\mathbb R}^n)}=\|Rf\|_{H^{s+(n-1)/2}_{t+(n-1)/2}({\mathbb S}^{n-1}\times{\mathbb R})}. $$ Аналогичная формула справедлива для лучевого преобразования $I$ $$ \|If\|^2_{H{}^{s+1/2}_{t+1/2}(T{\mathbb S}^{n-1})}=\sum\limits_{k=0}^{[m/2]}a_k\|j^k({}^s\!f)\|^2_{H^s_t({\mathbb R}^n;S^{m-2k}{\mathbb R}^n)}, \eqno{(1)} $$ где ${}^s\!f$ --- соленоидальная часть симметричного тензорного поля $f$ валентности $m$, $j$ --- свертка с тензором Кронекера, $a_k=a_k(m,n)$ --- некоторые положительные коэффициены, $[m/2]$ --- целая часть числа $m/2$. В классической работе Йона (1938) доказано, что функция $\varphi\in{\mathcal S}(T{\mathbb S}^2)$ является лучевым преобразованием некоторой функции из пространства Шварца ${\mathcal S}({\mathbb R}^3)$ тогда и только тогда, когда $\varphi$ удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению второго порядка. Этот результат обобщен Хелгасоном на лучевое преобразование скалярных функций на ${\mathbb R}^n$ для произвольного $n\ge3$; вместо одного уравнения здесь появляется система дифференциальных уравнений второго порядка. Позже автор перенес эти результаты на лучевое преобразование симметричных тензорных полей валентности $m$ на ${\mathbb R}^n\ (n\ge3)$; здесь появляется система дифференциальных уравнений порядка $2(m+1)$, которые по-прежнему называются уравнениями Йона. Подчеркнем, что все перечисленные результаты относятся к характеризации образа лучевого преобразования на пространстве Шварца ${\mathcal S}({\mathbb R}^n;S^m{\mathbb R}^n)$ гладких быстро убывающих тензорных полей. В настоящей работе мы характеризуем образ лучевого преобразования на соболевском пространстве $H^s_t({\mathbb R}^n;S^m{\mathbb R}^n)\ (n\ge3)$. Уравнения Йона, понимаемые в смысле теории распределений, остаются необходимыми и достаточными условиями для принадлежности функции образу лучевого преобразования. В отличие от случая пространства Шварца, формула Решетняка (1) играет решающую роль в доказательстве. Это совместная работа с Venkateswaran P. Krishnan (TIFR CAM, Bangalore, India).

Библиографическая ссылка: Шарафутдинов В.А.
Формулы Решетняка и уравнения Йона в тензорной томографии
Конференция по геметрическому анализу, посвященная 95-летию со дня рождения академика Ю.Г. Решетняка 22-28 сент. 2024