Реферат: Понятие дискретной аналитической функции на гауссовой решетке G=Z+iZ было дано Р. Ф. Айзексом [1]. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал функции первого рода. В дальнейшем Ж. Ферран [2] и Р. Дж. Даффин [3] создали теорию дискретных аналитических функций второго рода. Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности, были получены С. Л. Соболевым [4]. Новые комбинаторные и аналитические идеи в теорию внес Д. Зейльбергер [5]. Эти идеи были обобщены в работе автора [6]. Развитие нелинейной теории дискретных аналитических функций, основанное на круговых упаковках, началось с У. Терстона [7] и его учеников [8], [9]. Так было получено приближение с быстрой скоростью сходимостью в теории конформных отображений. В последние годы, дискретные аналитические функции стали рассматриваться с точки зрение теории банановых алгебр [10]. Это позволило вести понятия рациональных и мероморфных дискретных функций. В докладе будет затронут вопрос о существовании «естественного» базиса в различных пространствах дискретных аналитических функций и возможности разложения таких функций в ряды, аналогичные рядам Тейлора. [1] Isaacs R. F., “A Finite Difference Function Theory,” Univ. Nac. Tucuman. Revista A., 2, 177–201 (1941). [2] Ferrand J., “Fonctions Preharmoniques et Functions Preholomorphes,” Bull. Sci. Math., 68, 152–180 (1944). [3] Duffin R.J., “Basic Properties of Discrete Analytic Functions,” Duke Math. J., 23, 335–363 (1956). [4] Sobolev S.L., “A difference analog of the polyharmonic equation,” Soviet Math. Dokl., 6, 1174–1178 (1965). [5] Zeilberger D.A., “A New Basis for Discrete Analytic Polynomials”, J. Austral. Math. Soc., 23, 95–104 (1977). [6] Mednykh A. D., “Discrete analytic functions and Taylor series”, in: Theory of mappings, its generalizations and applications, Naukova Dumka, Kiev, 1982, pp. 137–144. [7] Thurston W. P., The finite Riemann mapping theorem, Purdue University, West Lafayette (1985). [8] Stephenson K., “Circle packing and discrete analytic function theory”, In: Handbook of complex analysis: geometric function theory, North-Holland, Amsterdam, 2002, pp. 333–370. [9] Schramm O., “Circle patterns with the combinatorics of the square grid”, Duke Math. J., 86, 347–389 (1997). [10] D. Alpay, P. Jorgensen, R. Seager, and D. Volok. “On discrete anayltic functions: Products, rational functions and producing kernels“, J. Appl. Math. Comput., 41, 393-426 (2013).

Библиографическая ссылка: Медных А.Д.
Базисы в пространствах дискретных аналитических функций
"Аппроксимации, графы, сети и интеллектуальный анализ данных", 7−11 октября 2024 г., Сириус, Сочи, Россия 07-11 окт. 2024