Реферат: Алгебра Ли называется градуированной [1], если она разлагается в прямую сум- му векторных подпространств V = Lr i=1 Vi, и при этом [Vi, Vk] ⊂ Vi+k, если i + k ≤ r, и [Vi, Vk] = 0, если i + k > r. Отметим, что градуированная алгебра всегда нильпотентна степени r. r-ступенчатая стратифицированная алгебра Ли V [2], [3] — это нильпотентная степени r алгебра Ли, обладающая стратификацией, т. е. V = Lr i=1 Vi, Vi+1 = [V1, Vi], [V1, Vr] = {0}. Алгеброй Карно [3] называется градуированная алгебра Ли, обладающая стратификацией; группа Ли G, соответствующая алгебре Карно, называется r-ступенчатой группой Карно. В дальнейшем мы будем рассматривать канонические группы Карно. Напомним, что канонической конечномерной группой Ли [4] или группалгеброй [5] называется аналитическая группа Ли G такая, что G отождествляет- ся с RN, единичный элемент e — с точкой 0 (начало координат RN), групповая операция a · x = Lax определяется при помощи формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа и соответ- ствующей таблицы коммутаторов, заданной на базисных ортах {ei}i=1,...,N евклидова пространства RN; экспоненциальное отображение группалгебры является тождествен- ным отображением. Подпространство V1 называется горизонтальным, его базис лево- инвариантных горизонтальных векторных полей будем обозначать через X1, . . . ,Xn, n = dim V1. Из известной теоремы Рашевского–Чоу следует, что любые две точки u, v группы Карно G можно соединить ломаной, состоящей из κ(u, v) звеньев, где звенья — отрезки интегральных линий векторных полей вида aX = Pn i=1 aiXi, где ai = const, Pn i=1 a2i = |a|2 ̸= 0, причем sup u,v∈G κ(u, v) ≤ KG = const. X Задача, которую мы рассматриваем, состоит в нахождении для данной группы Карно G минимального числа KG; обозначим это число через NH G . В [6] для канонической группы Энгеля Eα,β было дока- зано, что NH Eα,β = 4, в [7] для произвольной канонической 2-ступенчатой группы Карно D с горизонтальным распределением коразмерности 1 было доказано, что NH D = 3, в [8] для 6-мерной 2-ступенчатой группы Карно G3,3 с горизонтальным распределением ко- размерности 3 было доказано, что NH G3,3 = 3. В настоящей работе совместно с Р.И. Жуковым на 5-мерной 2-ступенчатой группе Карно G3,2 с горизонтальным распределением коразмерности 2 доказано, что NH G3,2 = 3; более того, мы обобщили этот результат для некоторой n + 2 мерной 2-ступенчатой группы Карно с горизонтальным распределением коранга 2. Учитывая результаты ра- бот [7], [8], а также результат для группы G3,2, нам кажется правдоподобной гипотеза о том, что любые две точки произвольной 2-ступенчатой группы Карно можно соединить некоторой горизонтальной k-ломаной, где k ≤ 3.

Библиографическая ссылка: Грешнов А.В.
Об оптимальной соединимости горизонтальными ломаными на группах Карно
Международная конференция "МАЛЬЦЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ" 14-18 нояб. 2022